La classificazione dei gruppi finiti e il gruppo mostro

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Se esiste una simmetria allora questa nasconde un gruppo.

Definizione da wikipedia:

In matematica un gruppo è una struttura algebrica formata dall’abbinamento di un insieme non vuoto con un’operazione binaria interna (come ad esempio la addizione o la moltiplicazione), che soddisfa gli assiomi di associatività, di esistenza dell’elemento neutro e di esistenza dell’inverso di ogni elemento.

Il concetto di gruppo è stato sviluppato dal matematico francese Evariste Galois che lo ha utilizzato per dimostrare che non è possibile esprimere le soluzioni di una equazione di grado quinto o superiore con operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevazione a potenza ed estrazione di radice.

Galois morì a seguito di un duello allo tenera età di 21 anni e non ebbe in vita alcun riconoscimento per l’importanza dei suoi studi.

Ora se ci concentriamo sui gruppi finiti, cioè gli insiemi di n elementi che hanno le proprietà per essere un gruppo, i matematici hanno dimostrato che si possono classificare tutti con un metodo detto telescopizzazione.

E’ un po’ come quando si dimostra che ogni numero intero si può esprimere come il prodotto di potenze di numeri primi.

In questo caso un qualsiasi gruppo finito si può “scomporre” in gruppi più semplici .

Questi gruppi sono tutti conosciuti. Ci sono 18 famiglie infinite numerabili di gruppi semplici finiti, più 26 gruppi sporadici che non seguono nessuna struttura apparente

Trai i gruppi sporadici il più grande è il mostro!

Si tratta di un  gruppo finito di ordine   2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000≈ 8 · 10⁵³.

Il gruppo Monster risulta il gruppo più importante per la cosiddetta congettura del Monstrous moonshine che stabilisce un profondo collegamento fra la matematica discreta e la non discreta, congettura dimostrata da Richard Borcherds nel 1992.

Il teorema di classificazione, detto anche “enorme” teorema occupa migliaia di pagine di dimostrazioni.

I primi passi nella classificazione sono iniziati verso la metà dell’Ottocento, la dimostrazione completa del teorema è distribuita in circa 500 articoli, e riempie quasi 15.000 pagine a stampa.

La strategia vincente per il successo nella dimostrazione del teorema di classificazione è stata delineata nel 1954 da Richard Brauer, e fu successivamente messa in atto, nel corso degli anni Cinquanta del secolo scorso, dai matematici Claude Chevalley, Jacques Tits, Robert Steinberg, Mitsuo Suzuki e Rimhak Ree, ai quali si deve la descrizione sistematica dei gruppi di tipo Lie.

Le ricerche ripresero nella seconda parte degli anni ’60, quando Daniel Gorenstein diede vita ad un programma per il completamento della dimostrazione. Da segnalare il fondamentale contributo di Michael Aschbacher per i suoi numerosi e sorprendenti risultati.